1000+1 αριθμοί - Η ακολουθία Φιμπονάτσι

Μια από τις πιο βασικές και ζωτικής σημασίας πλευρά του πολιτισμού μας είναι το γεγονός ότι κατανοούμε και είμαστε σε θέση να χρησιμοποιήσουμε τους αριθμούς. Οι αριθμοί βρίσκονται παντού γύρω μας περιμένοντας να τους μελετήσουμε και να βρούμε κάθε ιδιότητά τους, κάθε παραξενιά τους, κάθε εφαρμογή που μπορεί να έχουν.

Αρχικά ο άνθρωπος χρειαζόταν έναν τρόπο να εκφράζει τις αριθμητικές πράξεις που σκεφτόταν κι έτσι άρχισε να βρίσκει τρόπους για να γράψει τις σκέψεις του. Αποτέλεσμα αυτής της προσπάθειας ήταν η επινόηση κάποιου συστήματος αρίθμησης. Στις πρωτόγονες κοινωνίες ο άνθρωπος χρησιμοποιούσε υλικά που ταξινομώντας τα με ορισμένο τρόπο στον χώρο ήταν σε θέση να κάνει απλούς αριθμητικούς υπολογισμούς. Για παράδειγμα ο συνολικός αριθμός των ζώων δύο κοπαδιών που έπρεπε να υπολογιστεί από τον πρωτόγονο άνθρωπο γινόταν με την χρήση κλαδιών δέντρων. Ο άνθρωπος μάζευε τόσα κλαδιά όσα χρειάζονταν για να αντιστοιχεί ένα κλαδί στο κάθε ζώο κι έπειτα μετρούσε πόσα ήταν όλα τα κλαδιά βρίσκοντας τον συνολικό αριθμό των ζώων του κοπαδιού.
Όσο ο ανθρώπινος εγκέφαλος αναπτυσσόταν με το πέρασμα των αιώνων, ο άνθρωπος άρχισε να αντιλαμβάνεται πιο πολύπλοκες έννοιες. Έτσι νέες ανάγκες έκφρασης των μαθηματικών γεννήθηκαν. Με το πέρασμα του καιρού ο άνθρωπος άρχισε να χρησιμοποιεί τα γράμματα για να εκφράσει διάφορες μαθηματικές σχέσεις. Παράδειγμα αυτού του γεγονότος αποτελεί το αρχαίο ελληνικό και ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης.

Από τότε μέχρι σήμερα αρκετά άλλαξαν στο σύστημα αρίθμησης μας. Μία από τις θεμελιώδεις αλλαγές στον τρόπο που οι άνθρωποι έγραφαν τους αριθμούς έγινε όταν πριν από 800 περίπου χρόνια ένας Ιταλός μαθηματικός με το όνομα Fibonacci εισήγαγε στην Ευρώπη το σύστημα αρίθμησης που γνωρίζουμε σήμερα και μοιραζόμαστε με όλους σχεδόν τους πολιτισμένους λαούς της γης.

Ο Fibonacci ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται σήμερα ώς ο μεγαλύτερος μαθηματικός του Μεσαίωνα. Γεννήθηκε στη δεκαετία του 1170 και πέθανε αυτή του 1240. Άγαλμά του υπάρχει στο νεκροταφείο, δίπλα στον Καθεδρικό Ναό της Pisa, κοντά στον περίφημο πύργο. Το όνομά του έχει δοθεί σε δύο δρόμους, στην Pisa και τη Φλωρεντία. Το πραγματικό του όνομα ήταν Leonardo Pisano, όμως ο ίδιος αποκαλούσε τον εαυτό του Fibonacci, σύντμηση του Filius Bonacci (γιός του Bonacci), από το όνομα του πατέρα του. Ο πατέρας του Leonardo, Guglielmo Bonacci, ήταν τελωνειακός υπάλληλος στη Βορειοαφρικανική πόλη Bugia. Ο Fibonacci μεγάλωσε εκεί και η εκπαίδευσή του επηρεάστηκε σημαντικά από τους Μαυριτανούς αλλά και από τα ταξίδια που έκανε αργότερα σε όλο το μήκος της Μεσογειακής ακτής. Έτσι γνώρισε πολλούς εμπόρους και έμαθε τα αριθμητικά συστήματα που αυτοί χρησιμοποιούσαν για τις συναλλαγές και τους λογαριασμούς τους. Σύντομα διαπίστωσε τα πλεονεκτήματα του «Ινδοαραβικού» αριθμητικού συστήματος και έγινε από τους πρώτους που το εισήγαγαν στην Ευρώπη. Πρόκειται για το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείται και σήμερα, με δέκα ψηφία, ένα εκ των οποίων το μηδέν, και την υποδιαστολή.Το βιβλίο του Liber abbaci (βιβλίο των υπολογισμών) το οποίο ολοκληρώθηκε το 1202 έπεισε αρκετούς Ευρωπαίους μαθηματικούς να χρησιμοποιήσουν το «νέο» σύστημα. Το βιβλίο, γραμμένο στα λατινικά, περιγράφει με λεπτομέρεια τους μαθηματικούς κανόνες που σήμερα διδάσκονται στο δημοτικό για την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση και περιέχει πολλές ασκήσεις-παραδείγματα με λεπτομέρειες για την εφαρμογή αυτών των κανόνων.

Οι υπέροχοι και μυστήριοι αριθμοί Fibonacci. Οι αριθμοί Fibonacci είναι το αριθμητικό σύστημα της φύσης. Εμφανίζονται παντού στη φύση, από τη διάταξη των φύλλων στα φυτά μέχρι το μοτίβο των πετάλων στα λουλούδια, τις πευκοβελόνες, ή τα στρώματα του φλοιού ενός ανανά.

Φαίνεται πώς οι αριθμοί Fibonacci σχετίζονται με την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός σπυριού σταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμα της ίδιας της ανθρωπότητας. Η ακολουθία αριθμών στην οποία ο κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων είναι γνωστή ώς ακολουθία Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ... (κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων). Η ακολουθία Fibonacci και η φύση, τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά μεγαλώνουν με τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τόπο. Όμως η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια.

Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδενδρα στους δακτυλίους των κορμών τους.

Όμως πώς προκύπτει αυτή η διάταξη, αυτή η συμμετρία σε σχέση με την ακολουθία; Στην περίπτωση του φυλλώματος μπορεί να σχετίζεται με τη μεγιστοποίηση του χώρου που είναι διαθέσιμος για την ανάπτυξη κάθε φύλλου ή το φώς πρέπει να πέφτει πάνω στο κάθε φύλλο. Η φύση προφανώς δεν προσπαθεί να χρησιμοποιήσει την ακολουθία Fibonacci, αυτή εμφανίζεται ώς το δευτερεύον αποτέλεσμα μιας πολύ βαθύτερης φυσικής διαδικασίας.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι το ίδιο το ανθρώπινο χέρι: κάθε άνθρωπος έχει 2 χέρια, κάθε ένα από τα οποία έχει 5 δάκτυλα, κάθε δάκτυλο αποτελείται από 3 τμήματα που χωρίζονται από 2 αρθρώσεις. Όλοι αυτοί οι αριθμοί ανήκουν στην ακολουθία Fibonacci.

Από τον μαθητή Αντώνη Γλιούμπα